Понеділок, 14 червня 2021

Актуальне

Відсутність новин - теж хороша новина

Все про парадокс Монті Холла

Уявіть, що певний банкір пропонує вам вибрати одну з трьох закритих коробочок. В одній з них 50 центів, в іншій - один долар, у третій - 10 тисяч доларів. Яку виберете, та вам і дістанеться в якості призу.


Ви вибираєте навмання, скажімо, коробочку № 1. І тут банкір (який, природно, знає, де що) прямо на ваших очах відкриває коробочку з одним доларом (припустимо, це № 2), після чого пропонує вам поміняти спочатку обрану коробочку № 1 на коробочку № 3.

Чи варто вам змінювати своє рішення? Чи збільшаться при цьому ваші шанси отримати 10 тисяч?

Це і є парадокс Монті Холла - завдання теорії ймовірності, вирішення якої, на перший погляд, суперечить здоровому глузду. Над цим завданням люди ламають голови з 1975 року.

Парадокс отримав назву на честь ведучого популярного американського телешоу "Let 's Make a Deal". У цьому телешоу були схожі правила, тільки учасники вибирали двері, за двома з яких ховалися кози, за третьою - Кадиллак.


Більшість гравців міркували, що після того, як закритих дверей залишилося дві і за однією з них знаходиться Кадиллак, то шанси його отримати 50-50. Очевидно, що коли ведучий відкриває одні двері і пропонує вам змінити своє рішення, він починає нову гру. Поміняєте ви рішення або не зміните, ваші шанси все одно будуть рівні 50 відсоткам. Так?

Виявляється, що ні. Насправді, змінивши рішення, ви подвоїте шанси на успіх. Чому?

Ведучий знає розташування призу. Він не може відкрити ті двері, які вибрали ви і ті, за якими знаходиться приз (варіант, що ви вважаєте за краще отримати козу, а не Кадиллак, ми не розглядаємо).

У вас є два варіанти - залишитися при своєму або поміняти рішення. Припустимо, ви вирішили нічого не змінювати. Тоді машина вам дістанеться, тільки якщо ви дійсно відразу вгадали правильні двері. Якщо ви змінили рішення, то ви виграєте в тому випадку, якщо ви спочатку помилилися з дверима.

Згідно з цією логікою, якщо ви залишаєтеся при своєму виборі, то ваші шанси дорівнюють 1/3, а якщо змінюєте рішення - 2/3.

Дивно, але не всякий вибір з двох варіантів означає ймовірність успіху фіфті-фіфті.

У 1990 році ця задача і її рішення були опубліковані в американському журналі "Parade". Публікація викликала шквал обурених відгуків читачів, багато з яких мали наукові ступені.


Головна претензія полягала в тому, що не всі умови завдання були обумовлені, і будь-який нюанс міг вплинути на результат. Наприклад, ведучий міг запропонувати змінити рішення тільки в тому випадку, якщо гравець першим ходом вибрав автомобіль. Очевидно, що зміна початкового вибору в такій ситуації призведе до гарантованого програшу.

Однак за весь час існування телешоу Монті Холла люди, які змінювали рішення, дійсно вигравали вдвічі частіше:

З 30 гравців, які змінили початкове рішення, Кадиллак виграли 18 - тобто 60%

З 30 гравців, які залишилися при своєму виборі, Кадиллак виграли 11 - тобто приблизно 36%

Тож наведені в рішенні міркування, якими б нелогічними вони не здавалися, підтверджуються практикою.